Marcos Móviles y Ecuaciones de Estructura en Rn Area de Geometría Diferencial

Abstract

En el concepto de las curvas en R3 a lo largo de la geometría diferencial, el ejemplo más sencillo y conocido de un marco móvil es el marco de Frenet sobre una curva regular en el espacio euclidiano R3: este consiste de una tripleta de vectores ortonormales [T, N, B] en cada punto de la curva. Ésta terminología fue introducida por Bartles en el siglo XIX y posteriormente descrita por Frenet en su tesis doctoral y por Serret, buscamos construir el marco por completo que permita variar bajo el concepto de formas diferenciales a lo largo de la curva en R3. En lugar de llamarlo marco de Frenet, ahora lo llamamos el campo de marco móvil de Cartan, refiriéndonos a este enfoque en su conjunto como el método de Cartan en movimiento. Enfatizando el trabajo de los autores como: Frenet, Serret habían adaptado el marco a una superficie para tener información geométricamente significativa sobre ese objeto, pero Cartan en cambio nos instruye a hacer lo siguiente. Tome su mano derecha y coloque su pulgar imaginando alargado, el índice y el dedo medio en un marco ortonormal. Ahora agite su mano en el espacio y girando su mano mientras avanza, aunque sea fugazmente, se ha creado un campo de marco móvil arbitrario, al menos en cada punto de la región del espacio por el que pasó su mano. Cartan descubrió que un campo de marco móvil tan arbitrario está sujeto a dos leyes extremadamente elegantes, llamadas Primera y Segunda Ecuación Estructura de Cartan. Estas ideas inducen a obtener ecuaciones de estructura completamente generales para un campo de marco móvil arbitrario, es decir, Cartan descendió a la tierra y las adaptó a objetos geométricos específicos. Cuando Cartan los adaptó a una curva, simplemente se recuperó [T, N, B] Pero cuando adaptó su campo de marco móvil a una superficie, las ecuaciones estructura de Cartan produjeron inmediatamente todas las ecuaciones como la curvatura de Gauss y la curvatura media.