Teorema de Gelfand-Naimark para álgebras de Banach conmutativas

Abstract

Este trabajo consiste en la demostración del Teorema de Gelfand-Naimark (Corach & Andruchov, 1997) en el contexto de las Álgebras de Banach conmutativas. La idea de Gelfand fue el de extender la teoría espectral de Riesz a un álgebra normada arbitraria con unidad, imitando la definición de Riesz para el álgebra L(E) de los endomorfismos continuos de un espacio de Banach. Gelfand define el espectro de un elemento en un álgebra de Banach y recupera los resultados principales de la teoría de Riesz, y con la colaboración de M. Naimark comenzó el estudio de lo que hoy se conoce como C∗− álgebras. En este trabajo se utilizará el método teórico: Hipotético-Deductivo para mostrar los resultados, ya que la matemática es una ciencia que ha alcanzado determinado desarrollo teóricometodológico, en donde la hipótesis cumple una función importante. Se estudiará con mucho detalle las demostraciones de diferentes resultados de álgebras de Banach, álgebras de Banach conmutativas y C∗− álgebras. Las principales definiciones y resultados que serán de mucha utilidad en la demostración del teorema central son: el espectro de un elemento en un álgebra de Banach, el espectro de un álgebra de Banach, los elementos hermitianos, la transformada de Gelfand, las topologías débiles; si Δ es el espectro de un álgebra de Banach, entonces Δ es un espacio de Hausdorff compacto y C(Δ) es una subálgebra cerrada con unidad que separa puntos.