Teorema de Jordan

Abstract

En este trabajo vamos a analizar numerosos temas importantes dentro de la Geometr´ıa y Topolog´ıa, aunque nos enfocaremos en el plano. Este enfoque es necesario para poder demostrar y entender el Teorema de Jordan, un resultado que, a primera vista, puede parecer bastante esot´erico, pero que tiene implicaciones profundas y diversas. Para abordar este Teorema, necesitamos una serie de herramientas, las cuales, en orden de importancia, incluyen: curvas planas donde vamos a estudiar el comportamiento de las curvas continuas y suaves, adem´as de los vectores y rectas tangentes, pero muy importantes de ver y entender ser´a la reparametrizaci´on y longitud de arco de una curva, as´ı tambi´en los campos de vectores tangentes y normales de una curva en R2. Ya entendiendo de todo esto, vamos a poder expresarnos de curvas de clase C2 y para- metrizada por la longitud de arco. Con esto vamos a estudiar la curvatura y ecuaciones de frenet. As´ı como su interpretaci´on geom´etrica, llegaremos con esto al teorema fundamental de curvas planas, curvas paralelas, evolutas e involutas. Con esto podremos aprender sobre el n´umero de rotaciones de una curva cerrada y sim- ple, adem´as de la funci´on de ´angulo, sus propiedades que ocurre con una curva deformada, adem´as del c´alculo del n´umero de rotaci´on y n´umero de intersecciones de una curva cerrada y un rayo. Estos preliminares son fundamentales para la demostraci´on que estamos realizando que una curva simple y cerrada de clase C2, divide al plano en dos componentes conexas una acotada y la otra no acotada y ambas componentes tienen en com´un a la curva de Jordan, para ello debemos a˜nadir alg´un conocimiento como el n´umero de Lebesgue, tambi´en la existencia de una vecindad tubular definiremos punto interior, punto exterior y punto frontera de un conjunto y aunque existen muchas m´as demostraciones al Teorema de Jordan que se pueden encontrar si uno indaga en textos de Geometr´ıa Diferencial y Topolog´ıa, a medida que vayamos realizando la demostraci´on veremos algunos de ellos como Referencias que podemos consultar para un mejor entendimiento adem´as de ver la demostraci´on del Teorema de Jordan vamos a dar algunas aplicaciones de la misma.