Conjugación de subálgebras de Cartan

Abstract

El objetivo del presente trabajo de proyecto de grado es estudiar un resultado importante en la teoría de álgebras de Lie de dimensión finita, sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero: Cada par de subálgebras de Cartan son conjugadas entre sí, vía algún automorfismo de la álgebra. Este resultado es relevante pues garantiza la existencia de elementos regulares contenidos en las subálgebras de Cartan, los cuales hacen más fácil describirlas por completo. Para la demostración en el caso de álgebras de Lie complejas de dimensión finita, se requieren apenas herramientas del análisis y la topología como el Teorema de la Función Implícita para el caso real y nociones de componentes conexas del complemento de las raíces de cierto polinomio distinguido (polinomio de Killing), en el caso complejo. En el caso de álgebras de Lie de dimensión finita, cuyo cuerpo de escalares es algebraicamente cerrado de característica cero, ya que la noción de límite, esencial para el cálculo diferencial en este caso esta ausente, pues requiere para su uso pleno la completitud del cuerpo . Por tanto requeriremos de ciertos resultados algebraicos cuya finalidad es de obtener un resultado análogo al Teorema de la Función Implícita para funciones y aplicaciones polinomiales.