Teoremas de descomposición de Weyl y Levi

Abstract

El origen de la teoría de Cohomologíade álgebras de Lie radica en la topología algebraica. Chevalley -Eilenberg han demostrado que la cohomología real del espacio topológico subyacente de un grupo de Lie compacto es isomorfo a la cohomología real de su álgebra de Lie. Se darán pruebas cohomológicas de los dos teoremas principales en la teoría de álgebras de Lie sobre un campo de característica 0. El primero de estos teoremas es que las representaciones de dimensiones finitas de un álgebra de Lie semi-simple son completamente reducibles. El paso principal en esa prueba será demostrar que el primer grupo de cohomología de una álgebra de Lie semisimple de dimensión finita es trivial. Esto es conocido como el primer Whitehead Lemma. Luego se demostrará que cada álgebra de Lie g de dimensión finita es la extensión dividida de un álgebra de Lie semi-simple por el radical de g: el paso principal en la prueba de este resultado será mostrar que el segundo grupo de cohomología de un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita es trivial. Esto se conoce como el segundo Lema de Whitehead.