Álgebras de Lie semisimples y matrices de Cartan

Abstract

A pesar de los resultados de Cartan y Killing, los cálculos para la clasificación de las ´algebras de Lie semisimples permanecieron siendo de arduo trabajo hasta que Eugene B. Dynkin (1924 - 2014) defini´o el concepto de raíz simple y descubriió para estas el hecho siguiente: si dim(hR) = n, entonces un sistema (conjunto) simple de raíces posee exactamente n elementos. Adem´as, la matriz C = (cij ) cuyas entradas son los correspondientes valores obtenidos a partir de la forma de Cartan-Killing es llamada la matriz de Cartan de h y ella da origen a un grafo conexo correspondiente, el diagrama de Dynkin, en el cual hay n nodos que corresponden cada uno a una ra´ız simple. Es decir, tanto la matriz de Cartan como el diagrama de Dynkin caracterizan completamente a su ´algebra correspondiente a partir de la relación entre sus elementos (entradas de la matriz en el caso de la matriz de Cartan y las conexiones entre los nodos para el diagrama de Dynkin correspondiente). De esta forma es que las ´algebras de Lie forman la base de lo que actualmente se conoce como teor´ıa de Lie. Un ´algebra de Lie es un espacio vectorial g dotado de un producto [ , ] bilineal, antisim´etrico, y que adem´as satisface la identidad de Jacobi. Dos teoremas fundacionales de la teoría de Lie son: el teorema de Lie y el teorema de Engel, que establecen, correspondientemente.