Acción de Cartan relacionado con la acción de Palais

Abstract

La definición de acción sobre un conjunto no se queda allí solamente, cuando el grupo y el conjunto son dotados de estructuras topológicas, se puede indagar un poco sobre el comportamiento de la acción y se puede formular ciertos interrogantes y saber de cuando un espacio cociente es un espacio Hausdorff, o mejor aún, bajo qué condiciones el espacio cociente de un espacio topológico por el grupo topológico es siempre Hausdorff. Una condición necesaria y suficiente para que el cociente sea Hausdorff es que la acción sea propia, pero cuando se recurre a diferentes textos para conocer la definición de acción propia, se puede encontrar diferencias entre las definiciones de acciones propias (en el sentido de Bourbaki) y las acciones propias (en el sentido de Palais) en las cuales son tratadas en este trabajo con detalles para llegar a la relación entre ellas. Además, se revisará otras implicaciones de interés en el espacio cociente, por ejemplo, cuando G es un grupo discreto, la noción de acción propia coincide con la definición de acción propiamente discontinua y es posible que esta fuese la que condujo al nombre de propiamente discontinua.