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Solución de ecuaciones diferenciales parciales con condiciones de contorno abiertas por el método de Monte Carlo
(Revista Boliviana de Física, 2016) Suxo Mamani, Franz
El metodo estocástico de Monte Carlo se aplica para resolver ecuaciones diferenciales parciales que tienen condiciones de contorno abiertas, es decir, ecuaciones cuyo dominio de solucion es infinito. Aplicamos este método a la ecuación de Laplace y a la ecuación de difusion, las cuales modelan fenómenos estacionarios y fenómenos de evolución temporal respectivamente, que son de mucho interes en la física. Como un primer paso se comprueba la eficacia del metodo de Monte Carlo al comparar los resultados numéricos con las soluciones analíticas de problemas conocidos. El siguiente paso fue aplicar el metodo a problemas físicos mas complejos que no tienen solución analítica. Encontramos que en el caso de la ecuacion de difusion, el método de Monte Carlo se aplica directamente sobre el dominio infinito del problema, mientras que en los metodos numéricos más comunes se requiere acotar el dominio del problema.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES POR EL MÉTODO MONTE CARLO
(Revista Boliviana de Física, 2011) Suxo Mamani, Franz
Se obtiene soluciones de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) como ser la ecuación de Laplace para una región plana irregular y la ecuación del calor para una región plana circular y regular. Para ello se utiliza el método Monte Carlo a fin de simular paseos aleatorios que se realizan en regiones discretizadas que resultan de las EDP desarrolladas en diferencias finitas. La forma de discretización limita las direcciones de paso entre los nodos de la región y a la vez asigna probabilidades de transición entre dichos nodos. La idea de la metodología es que para determinar el valor de un nodo (i.e., la solución de un punto de la región discretizada) se lanza varias partículas desde el nodo y se las hace evolucionar de acuerdo a las probabilidades de transición hasta que choquen con el borde de la región discretizada, terminando así el paseo aleatorio; este borde constituye la condición de contorno de las EDP. Se presentan los resultados para la ecuación del calor en una placa delgada para seis instantes; los resultados de la ecuación de Laplace se presentan mediante dos situaciones físicas distintas: una membrana elástica delgada estacionaria y la distribución estacionaria de temperatura en una placa delgada.