Solución de ecuaciones diferenciales parciales con condiciones de contorno abiertas por el método de Monte Carlo

Abstract

El metodo estocástico de Monte Carlo se aplica para resolver ecuaciones diferenciales parciales que tienen condiciones de contorno abiertas, es decir, ecuaciones cuyo dominio de solucion es infinito. Aplicamos este método a la ecuación de Laplace y a la ecuación de difusion, las cuales modelan fenómenos estacionarios y fenómenos de evolución temporal respectivamente, que son de mucho interes en la física. Como un primer paso se comprueba la eficacia del metodo de Monte Carlo al comparar los resultados numéricos con las soluciones analíticas de problemas conocidos. El siguiente paso fue aplicar el metodo a problemas físicos mas complejos que no tienen solución analítica. Encontramos que en el caso de la ecuacion de difusion, el método de Monte Carlo se aplica directamente sobre el dominio infinito del problema, mientras que en los metodos numéricos más comunes se requiere acotar el dominio del problema.The stochastic Monte Carlo method is applied to solve partial differential equations with open boundary conditions, i.e., equations that have solutions in an infinite domain. First, we test the effectiveness of the Monte Carlo method by comparing results with the analytical solutions of known problems. Next, we applied the method to more complex physical problems that have no analytical solution. We found that in the case of the diffusion equation, the Monte Carlo method is applied directly on the infinite domain of the problem, while in the most popular numerical methods a bound solution domain is required.