Descomposición de superficies a través de la Teoría de Morse

Abstract

En el presente trabajo se quiere ver las relaciones existentes entre los espacios, sin pérdida de generalidad podemos entenderlos como superficies y las funciones definidas en dichos espacios. Podemos entender así a la Teoría de Morse como el estudio de las relaciones que existen entre las superficies y las funciones que se pueden definir sobre dichas superficies, tomando como interés principal, el entender cómo los puntos críticos de una función, definida en cierto espacio, afectan o determinan la apariencia to- pológica del espacio y recíprocamente; cómo influye la forma del espacio en la distribución posible de puntos críticos de una función. Aquí trabajaremos en dimensión finita, pues para la dimensión infinita se requiere más conocimientos que los que podemos abordar ahora. En el primer capítulo hacemos la introducción a conceptos básicos como puntos críticos, matriz Hessiana, con ejemplos aplicativos y definimos funciones de Morse. En el segundo capítulo vemos cómo podemos descomponer superficies en asas. En el tercer capítulo extendemos los conceptos previos a variedades de dimensión finita y campos vectoriales definidos sobre estas. El el cuarto capítulo vemos el aspecto topológico que poseen las funciones definidas sobre una variedad. En los apéndices profundizamos los conceptos sobre variedades diferenciables y demostramos a detalle el teorema de Sard.