Solución de una EDP completa inhomogenea e implementación de condiciones de frontera mediante paseos aleatorios

Abstract

El término inhomogéneo de una Ecuación Diferencial Parcial (EDP), describe diferentes sistemas físicos que contienen fuentes o sumideros como: carga, materia o energía, mientras que el término que no posee derivada (término de orden cero) está relacionado con diversos procesos físicos como: enfriamiento de Newton, absorción de Lambert o desintegración radiactiva entre otros. Existen métodos estocásticos como paseos aleatorios para resolver EDP's, por ejemplo, Suxo, [2011] formuló un teorema aplicado exclusivamente a EDP's homogéneas, sin tomar en cuenta el término de orden cero. Por tanto, a fin de ampliar el estudio a mayor cantidad de fenómenos físicos, en este trabajo reformulamos el teorema antes mencionado, tomando en cuenta el término de orden cero dentro una EDP inhomogénea. Adicionalmente, implementamos el estudio de las condiciones de frontera de Dirichlet, Neumann y Mixta. Finalmente, verificamos la eficacia del estudio confrontando los resultados obtenidos con soluciones analíticas de las ecuaciones de Poisson, Fick y Fourier

In a Partial Differential Equation (PDE), the inhomogeneous term describes different physical systems that contain sources or sinks such as: charge, matter or energy, while the term that does not have a derivative (zero order term) is related to diverse physical processes such as: Newton cooling, Lambert absorption or radioactive disintegration among others. There are stochastic methods such as random walks to solve equations, for example, Suxo, [2011] formulated a theorem applied exclusively to homogeneous PDEs, without taking into account the zero order term. Therefore, in order to extend the study to several physical phenomena, in this work we reformulate that theorem taking into account the zero order term within an inhomogeneous PDE. In addition, we implement the study of the Dirichlet, Neumann and Mixed boundary conditions. Finally, we verify the effectiveness of the study by comparing the results obtained with analytical solutions of the Poisson, Fick and Fourier equations