SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES POR EL MÉTODO MONTE CARLO

Abstract

Se obtiene soluciones de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) como ser la ecuación de Laplace para una región plana irregular y la ecuación del calor para una región plana circular y regular. Para ello se utiliza el método Monte Carlo a fin de simular paseos aleatorios que se realizan en regiones discretizadas que resultan de las EDP desarrolladas en diferencias finitas. La forma de discretización limita las direcciones de paso entre los nodos de la región y a la vez asigna probabilidades de transición entre dichos nodos. La idea de la metodología es que para determinar el valor de un nodo (i.e., la solución de un punto de la región discretizada) se lanza varias partículas desde el nodo y se las hace evolucionar de acuerdo a las probabilidades de transición hasta que choquen con el borde de la región discretizada, terminando así el paseo aleatorio; este borde constituye la condición de contorno de las EDP. Se presentan los resultados para la ecuación del calor en una placa delgada para seis instantes; los resultados de la ecuación de Laplace se presentan mediante dos situaciones físicas distintas: una membrana elástica delgada estacionaria y la distribución estacionaria de temperatura en una placa delgada.We use the Monte Carlo method to obtain solutions of partial differential equations (PDE) such as the Laplace equation for a flat irregular region and the heat equation for a flat circular and regular region. With this method we simulate random walks in the discrete regions that result from the PDE developed as finite differences. The discretization process limits the possible directions between the region nodes and assigns them transition probabilities. To determine the value of the node (i.e., the solution for a point in the discretized region) we launch from the node several particles and let them evolve according to their probabilities until they reach the boundary region, which is the boundary condition for the PDE. We present the results of this method for the heat equation in a thin board for six different instants. For the Laplace equation the results correspond to two different physical systems: a stationary and elastic thin membrane and the stationary temperature distribution of a thin board.